uno russo

[Diego Navarro]

Sean una semicircunferencia con diámetro y centro , y una recta que corta a la semicircunferencia en los puntos y , y a la recta en (siendo y ).Sea el punto de interseccion de las circunferencias circunscritas de los triangulos y . Demostrar que .

Aca dejo una imagen por si no quedo claro;

[iMPuRe]

hay bastantes errores de redaccion porfavor editar, saludos!

[Diego Navarro]

Ahora si esta bien

[Black Joker !]

Sean una semicircunferencia con diámetro y centro , y una recta que corta a la semicircunferencia en los puntos y , y a la recta en (siendo y ).Sea el punto de interseccion de las circunferencias circunscritas de los triangulos y . Demostrar que .

Aca dejo una imagen por si no quedo claro;

En realidad este problema (Rusia 1995, si mal no recuerdo) aparece en un artículo de la revista OIM resuelto, como ejemplo del poder de la inversión.

Para un punto del plano (distinto de ), sea su inverso bajo una inversión de centro y radio . Al aplicar esta inversión, los circumcírculos de y se transforman en las rectas y , respectivamente. Se sigue que es la intersección de las dos rectas anteriormente mencionadas, y el punto es un punto al interior del segmento . Por propiedades de la inversión, nos resta demostrar que . Pero como y son alturas del , entonces probando que forman una cuaterna armónica estamos listos.

Dados dos puntos distintos de O, se tiene que (donde es el radio de la inversión) y por ende . Por lo tanto (A,M',B,M) es una cuaterna armónica, que era lo que necesitábamos probar.

[Diego Navarro]

También pudiste haber invertido la recta MD, circunferencia la cual pasará por los puntos D,C,O y cortará a AB en un punto el cual es M' el inverso de M, por lo tanto como AC y BD son alturas y O es punto medio luego esta circunferencia, es la cirnferencia de los 9 puntos, por lo tanto y como la inversión conserva los angulos , saludos