El Número de Oro

por **Jumbito** » 27 Jun 2010, 13:05

$\mathcal{P}1$ . Los cuatro círculos de la figura determinan $10$

regiones acotadas. En estas regiones se escriben $10$

números enteros positivos distintos que sumen $100$

, un número en cada región. La suma de los números contenidos en cada círculo es igual a $\mathcal{S}$ (la misma para los cuatro círculos). Determine el mayor y el menor valor posible de $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{P}2$ . Un corchete consta de tres segmentos de longitud $1$

, que forman dos ángulos rectos como muestra la figura.

Se tiene un cuadrado de lado $n$

dividido en $n^2$

cuadraditos de lado $1$

mediante rectas paralelas a sus lados. Se ubican corchetes sobre dicho cuadrado de manera que cada segmento de un corchete cubra un lado de algún cuadradito. Dos segmentos de corchete no se pueden superponer.

Determine todos los valores de $n$

para los que es posible cubrir los lados de los $n^2$

cuadraditos.

$\mathcal{P}3$ . Sean $A, B$

y

tres puntos tales que $B$

es el punto medio del segmento $AC$

y sea

un punto tal que $\angle{PBC}=60^o$ . Se construyen el triángulo equilátero $PCQ$

tal que

y

están en semiplanos diferentes con respecto a $PC$

, y el triángulo equilátero $APR$

tal que

y

están en el mismo semiplano con respecto a $AP$

. Sea

el punto de intersección de las rectas $BQ$

y

; sea

el punto de intersección de las rectas $BR$

y

. Pruebe que $XY$

y

son paralelos.

$\mathcal{P}4$ . Andrea y Bruno juegan en un tablero de $11$

filas y

columnas. Primero Andrea divide el tablero en $33$

zonas. Cada zona está formada por $3$

casillas contiguas alineadas vertical u horizontalmente, como muestra la figura.

Luego, Bruno escribe en cada casilla uno de los números $0, 1, 2, 3, 4, 5$

, de modo que la suma de los números de cada zona sea igual a $5$

. Bruno gana si la suma de los números escritos en cada una de las $9$

columnas del tablero es un número primo. En caso contrario, Andrea gana. Demuestre que Bruno tiene estrategia ganadora.

$\mathcal{P}5$ . Dada una sucesión $\mathcal{C}$ de $1001$

números reales positivos no necesariamente distintos, y dado un conjunto $\mathcal{K}$ de números enteros positivos distintos, la operación permitida es: elegir un $k\in\mathcal{K}$ , seleccionar $k$

números de $\mathcal{C}$ , calcular el promedio de los $k$

números (media aritmética) y reemplazar cada uno de los $k$

números seleccionados por ese promedio.

Si $\mathcal{K}$ es un conjunto tal que para cada $\mathcal{C}$ se puede lograr, mediante una secuencia de operaciones permitidas, que los números sean todos iguales, determine el menor valor posible del máximo elemento de $\mathcal{K}$ .

$\mathcal{P}6$ . Sebastián tiene cierta cantidad de rectángulos cuyas áreas suman $3$

y cuyos lados son todos menores o iguales que $1$

. Demuestre que con estos rectángulos es posible cubrir un cuadrado de lado $1$

de modo que los lados de los rectángulos sean paralelos a los lados del cuadrado.
Nota: Los rectángulos se pueden superponer y pueden sobresalir del cuadrado.

por **Diego Navarro** » 21 Jul 2010, 00:58

Daré mi solución al P2:
Lema 1:Supongamos que un tablero de n por n es posible llenarlo con estos corchetes, podemos encontrar en una esquina que tenga una pieza como la de la figura 1, luego el único que puede llenar el espacio de abajo es el de la figura 2, luego poner uno mas abajo , hasta llegar a la esquina inferior izquierda donde ocurrira el mismo procedimiento y en todas las esquinas llenandose un especie de cierre.

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Lema 2:Ahora contaremos la cantidad de "aristas" de los corchetes que tendrá el cuadrado de n por n. Primero notemos que el cuadrado de uno por uno, tiene cuatro aristas. Demosnos cuenta que para cuadrado de n por n , la cantidad de aristas que tiene en su interior son las del cuadrado de n-1 por n-1 mas 2n verticales y 2n horizontales, viendolo como una sucesión, donde $a_n=a_{n-1}+4n$ ,
a_1=4

...
$a_n=a_{n-1}+4n$
Sumando todas estas ecuaciones tenemos el termino general a_n=2n(n+1)

, luego todos los cuadrados de n por n , con $$\ n \equiv 1 (mod \ 3)$ no serán posible llenarlos ya que la cantidad de aristas no serán divisibles por 3 , y por lo tanto no serán posible llenarlos con corchetes.

Demostrarémos que todos los n de la forma 6k+3

y

es posible llenarlos con estos corchetes, para esto usarémos inducción.
Acá dejare los casos bases respectivos, (puse las"puntas" de los corchetes en azul para que fuese mas claro)

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Ahora supongamos que un se cumple para un sierto k,(el cuadrado del medio será para el cual se cumple, haré la inducción a la vez, ya que es análoga y ademas solo uso el echo de que es impar),
Tomemos una esquina (inferior izquierda) sobre esta pondremos un corchete luego pondremos una por medio, como es una cantidad impar el n , terminará sobre otra esquina este procedimiento, procedimiento análogo se hace sobre los tres lados restantes (la primera de las dos imagenes). Ahora, en los espacios entremedios, pondremos otros solo que esta vez mirando en direccion contraria (la segunda) bastará hacer el cierre para terminar la inducción (notemos que aumenta 3 hacia arriba, 3 hacia abajo, 3 hacia la derecha y 3 hacia la izquierda por lo tanto , 6 horizontalmente y 6 verticalmente).

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Ahora demostraremos que los de la forma 6k+2 y 6k no cumplen con lo pedido. Por contradicción asumamos que si cumplen, entonces por el lema uno debe tener el cierre, luego, consideremos el corchete de la esquina inferior, el espacio que está hacia la derecha arriba, no será posible llenarlo de niuna forma, por lo tanto hay que llenar el de la derecha, el que esta alado de este tampoco se podra poner ninguno por lo tanto habra que ponerle uno hacia la derecha nuevamente , analogamente hacia arriba y en las cuatro esquinas, como aca hay una cantidad par de "espacios", en algun momento se chocaran los corchetes, contradiccion, ya que en ese espacio no se podran poner ningun corchete.

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En conclusión, los cuadrados que cumplen son los de la forma 6k+3, 6k+5 y el 2.
Nota: el cuadrado de 2 por dos es un caso especial ya que es el unico cuadrado el cual no tendra el problema que use debido que no tendra el cuadrado de adentro.

Eso traté de explicarlo de la mejor forma posible si no quedo muy claro disculpen cualquier duda pregunten, creo que está bueno =).

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