De un selectivo IMO brasileño

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pedantic anarchy
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De un selectivo IMO brasileño

Mensajepor pedantic anarchy » 21 Nov 2010, 19:55

Considere un triángulo [math]. Los puntos [math] corresponden a los pies de las alturas del triángulo [math] correspondientes a los lados [math] y [math], respectivamente. Definimos [math] como el ortocentro del triángulo [math]. Sea [math] la segunda intersección de las circunferencias circunscritas a los triángulos [math] y [math], distinto de [math]. Demuestre que los puntos [math] son colineales si y solamente si [math]
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Diego Navarro
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Re: De un selectivo IMO brasileño

Mensajepor Diego Navarro » 29 Nov 2010, 20:28

sabi este problema lo lei en un libro y me salio en una aburria clase de lenguaje bueno, nose si es la solucion mas corta pero esta es la mia,(cambie las letras esqe ya tenia echo el dibujo y me da alta arreglarlo xdd)

Imagen
primero unas cosas ,
Sea CF la tercera altura, sea G la interseccion de las prolongaciones de FE con BC, sea [math] las circunferencias circunscritas de ABC y la de AHE respectivamente. Notemos que [math] (cíclico CBFE) por tanto G pertenece al eje radical de las circunferencias [math] es decir G pertenece a la recta qe pasa por AP y por tanto G -P-A son coolineales.
Ahora, por lo cíclicos, [math] por tanto el cuadrilatero GPEC es cíclico.

a) BD=3a y DC=a [math] P-D-E son coolineales.
Claramente [math] (por el cílico PECG)
Como [math] (por cíclico ABDE)
Notemos que (B,D,C,G) es una cuaterna armonica, entonces
[math]
Entonces ABG es isóceles puesto que su altura cae en el punto medio, por tanto, [math] coombinando esto con (i)y con (ii), obtenemos que [math] por tanto P-D-E son coolineales.

b) P-D-E son coolineales entonces BD=3a y DC=a.
Como [math] ,[math](cíclico ABDE) y [math] (cíclico PECG) se deduce que ACG es isóceles, y por tanto D es el punto medio de GB, ahora como (B,D,C,G) es una cuaterna armonica,
[math] osea [math]

Saludos.

pedantic anarchy
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Re: De un selectivo IMO brasileño

Mensajepor pedantic anarchy » 01 Dic 2010, 17:06

Solucion correcta Diego, no he revisado los detalles pero la idea es correcta.

Existe una solucion mas corta, estan invitados a buscarla
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